Question

如圖，A、B為⊙O上的點，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D，若AC為∠BAD的平分線．
求證：（1）AB為⊙O的直徑；（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

證明：（1）連接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
又CD切⊙O于點C，
∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC=90°．
即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．
∴AB是⊙O的直徑（90°圓周角所對弦是直徑）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴

AB

AC

=

AC

AD

．
∴AC²=AB•AD．