Question

【題目】如圖，已知點A是雙曲線y= 在第一象限的分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限．隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y= （k＜0）上運動，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：∵雙曲線y= 關于原點對稱， ∴點A與點B關于原點對稱．
∴OA=OB．
連接OC，如圖所示．

∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，FC= EO．
設點A坐標為（a，b），
∵點A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF= AE= a，FC= EO= b．
∵點A在雙曲線y= 上，
∴ab=1．
∴FCOF= b a=3ab=3，
設點C坐標為（x，y），
∵點C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy=3．
∴xy=﹣3．
∵點C在雙曲線y= 上，
∴k=xy=﹣3．
所以答案是：﹣3．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．