Question

全國第十屆數學教育方法論暨MM課題實施20周年紀念活動于9月27在無錫市一中拉開帷幕，與會期間全國數十位老師上了精彩紛呈的展示課，其中青島一位老師的“折紙”課，武漢的裴光亞教授評價是：“栩栩如生，五彩繽紛”，課堂上老師提出這樣一個問題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個菱形嗎？有兩位同學很快折出了各自不同的菱形，如下圖：

（1）如果該矩形紙片的長為4，寬為3，則甲、乙兩圖中的菱形面積分別為： _______；
（2）這時老師說，這兩位同學折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應該怎樣折出來嗎？如下圖所示：在矩形ABCD中，設AB=3，AD=4，請你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標注上適當的字母，并求出這個菱形的面積。

（3）借題發揮：如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折疊該矩形，使得點D與AB邊的中點E重合，折痕交AD于點F，交BC于點G，邊DC折疊后與BC交于點M，試求：△EBM的面積。

Answer 1

解：（1）6和9；
（2）如圖：（以BD或 AC為對角線，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC） 注意：只要畫出圖形，不必寫畫法， 如圖 設線段ED的長為x ∵ 四邊形BFDE是菱形 ∴ED=BE=x 又∵矩形ABCD中 AB=3，AD=4 ∴AE=4-x 在Rt△ABE中 AE2+AB2=BE2 ∴ 解之得：x= ∴ED= ∴；
（3）如圖 ∵ 對折 ∴DF=EF 設線段DF的長為x，則EF=x ∵AD=3 ∴AF=3-x ∵點E是AB的中點，且AB=2 ∴AE=BE=1 ∴ 在Rt△AEF中有 ∴ 解之得：x= ∴AF= 在矩形ABCD中由于對折 ∴∠D=∠FEM=90° ∴∠1+∠2=90° 又∵∠A=∠B=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3 ∴ ∴ ∴BM= ∴。