Question

【題目】已知，點A，點B分別在線段MN，PQ上∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP

（1）如圖1，求證：MN∥PQ；

（2）分別過點A和點C作直線AG、CH使AG∥CH，以點B為頂點的直角∠DBI繞點B旋轉，并且∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點F和點E，如圖2試判斷∠CFB、∠BEG是之間的數量關系，并證明；

（3）在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB＝60°，求∠CFB的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠CFB﹣∠BEG＝90°，證明見解析；（3）∠CFB＝120°．

【解析】

（1）過C作CE∥MN，根據平行線判定和性質證出CE∥PQ；（2）過B作BR∥AG，根據平行線判定和性質證出∠BEG＝90°﹣∠RBF＝90°﹣（180°﹣∠CFB）；（3）過B作BR∥AG，根據平行線判定和性質證出∠NAE＝∠AES，∠QBE＝∠EBC，根據角平分線定義得：∠CAE＝∠AES，再證∠AEB＝∠AES+∠BES＝∠CAE+∠CBE＝，∠AEB＝150°，∠BEG＝30°.

（1）過C作CE∥MN，

∴∠1＝∠MAC，

∵∠2＝∠ACB﹣∠1，

∴∠2＝∠ACB﹣∠MAC，

∵∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP，

∴∠2＝∠CBP，

∴CE∥PQ，

∴MN∥PQ；

（2）過B作BR∥AG，

∵AG∥CH，

∴BR∥HF，

∴∠BEG＝∠EBR，∠RBF+∠CFB＝180°，

∵∠EBF＝90°，

∴∠BEG＝∠EBR＝90°﹣∠RBF，

∴∠BEG＝90°﹣∠RBF＝90°﹣（180°﹣∠CFB），

∴∠CFB﹣∠BEG＝90°；

（3）過E作ES∥MN，

∵MN∥PQ，

∴ES∥PQ，

∴∠NAE＝∠AES，∠QBE＝∠EBC，

∵BD和AE分別平分∠CBP和∠CAN，

∴∠NAE＝∠EAC，∠CBD＝∠DBP，

∴∠CAE＝∠AES，

∵∠EBD＝90°，

∴∠EBQ+∠PBD＝∠EBC+∠CBD＝90°，

∴∠QBE＝∠EBC，

∴∠AEB＝∠AES+∠BES＝∠CAE+∠CBE＝，

∵∠ACB＝60°，

∴∠AEB＝150°，

∴∠BEG＝30°，

∵∠CFB﹣∠BEG＝90°，

∴∠CFB＝120°．