Question

梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃ ，且S₁ +S₃ =9S₂，則CD=（   ）

A.2.5AB        B.3AB  
C.3.5AB           D.4AB

Answer 1

D

解：如圖，作AO∥BC交DC于O點，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，
∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，
∵以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，
∴S₁=AM×MD=AM²，
根據勾股定理得：AM²+MD²=AD²，
∵AM=MD，
∴2AM²=AD²，
∴S₁=，
同理：∵S₂=AN²•，2AN²=AB²，∴S₂=，
同理：∵S₃=BP²•，2BP²=BC²，∴S₃=，
∵S₁+S₃=9S₂
∴
∴（DC-AB）²=9AB²
∴（CD-4AB）（CD+2AB）=0，
∴CD=4AB，CD=-2AB（不合題意，舍去）
故選D．