Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別為（0，5）、（0，2）、（4，5），直線l的解析式為y＝kx+2﹣4k（k＞0）．

（1）當直線l經過原點O時，求一次函數的解析式；

（2）通過計算說明：不論k為何值，直線l總經過點C；

（3）在（1）的條件下，點M為直線l上的點，平面內是否存在x軸上方的點N，使以點O、A、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）存在，滿足條件的點M為或或．

【解析】

（1）將原點坐標代入解析式可求出k的值，即可求解；

（2）由題意可得點C（4，2），當x＝4時，y＝4k+2﹣4k＝2，則可得不論k為何值，直線l總經過點C；

（3）分OA為邊，OA為對角線兩種情況討論，由菱形的性質可求解．

解：（1）∵直線l經過原點，

∴把點（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，

得：2﹣4k＝0，

解得：，

∴一次函數的解析式為：；

（2）由題意可知，點C的坐標為（4，2），

當x＝4時，y＝4k+2﹣4k＝2，

∴不論k為何值，直線l總經過點C；

（3）設點M（x，x）

①以OA為菱形的邊，此時，OM＝OA＝5，

∴

∴x＝±2，

點M的坐標為或；

②以OA為菱形的一條對角線，

此時MN垂直平分OA，

則x＝

∴x＝5

則M的坐標為；

綜上所述：滿足條件的點M為或或．