Question

若一次函數y=a₁x+b₁（a₁≠0，a₁、b₁是常數）與y=a₂x+b₂（a₂≠0，a₂、b₂是常數），滿足a₁+a₂=0且b₁+b₂=0，則稱這兩函數是對稱函數．
（1）當函數y=mx-3與y=2x+n是對稱函數，求m和n的值；
（2）在平面直角坐標系中，一次函數y=2x+3圖象與x軸交于點A、與y軸交于點B，點C與點B 關于x軸對稱，過點A、C的直線解析式是y=kx+b，求證：函數y=2x+3與y=kx+b是對稱函數．

Answer 1

解：（1）∵函數y=mx-3與y=2x+n是對稱函數，
∴由題意可知，
解得；
（2）對于一次函數y=2x+3，
令x=0，解得y=3；令y=0，解得x=-，
∴A（-，0），B（0，3），
∵點C與點B關于x軸對稱，
∴C（0，-3），
將A與C的坐標代入y=kx+b中得：，
解得：，
∴直線AC的解析式為y=-2x-3，
∵2+（-2）=0，3+（-3）=0，
∴函數y=2x+3與y=kx+b是對稱函數．
分析：（1）根據題中對稱函數的定義，得到m+2=0，-3+n=0，即可求出m與n的值；
（2）對于一次函數y=2x+3，令x=0求出y的值，確定出B的坐標；令y=0求出x的值，確定出A的坐標，再由C與B關于x軸對稱，求出C的坐標，將A與C的坐標代入y=kx+b中，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k=-2，b=-3，確定出直線AC的解析式為y=-2x-3，由（-2）+2=0，（-3）+3=0，根據題中對稱函數的定義，即可得證．
點評：此題考查了一次函數綜合題，屬于新定義題型，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．