Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過點，，且與軸交于點，連接、、.

(1)求此二次函數的關系式；

(2)判斷的形狀；若的外接圓記為，請直接寫出圓心的坐標；

(3)若將拋物線沿射線方向平移，平移后點、、的對應點分別記為點、、，的外接圓記為，是否存在某個位置，使經過原點？若存在，求出此時拋物線的關系式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直角三角形，（2，2）（3）存在，拋物線的關系式為

或

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法可直接代入得到方程組求值，得到函數的解析式；

（2）過點作軸于點，然后根據角之間的關系得到是直角三角形，最后根據坐標得到D點；

（3）取中點，過點作軸于點，根據勾股定理求出MC的長和OM的長，再通過平移的性質得到平移的距離，然后根據二次函數的平移性質可得到解析式.

試題解析：(1)把點，代入中得

，解得，

所以所求函數的關系式為.

(2)為直角三角形.

過點作軸于點，

易知點坐標為，所以，所以，

又因為點坐標為，所以，所以，

所以，所以為直角三角形，

圓心的坐標為.

(3)存在.

取中點，過點作軸于點，

因為的坐標為，

所以，，

所以，

又因為，

所以，

所以要使拋物線沿射線方向平移，

且使經過原點，

則平移的長度為或，

因為，

所以拋物線的頂點向左、向下均分別平移個單位長度，

或個單位長度.

因為.

所以平移后拋物線的關系式為，

即

或，即.

綜上所述，存在一個位置，使經過原點，此時拋物線的關系式為

或.