Question

復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業題：“如下圖①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內部任意一點，將AP繞A順時針旋轉至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，則BQ＝CP。”

           

（1）小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ＝CP。請你幫小亮完成證明。

（2）之后，小亮又將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ＝CP”仍然成立嗎？若成立，請你就圖②給出證明。若不成立，請說明理由。

Answer 1

證明：（1）∵∠QAP＝∠BAC

∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP

即∠QAB＝∠CAP               

在△BQA和△CPA中

AP＝AQ，∠QAB＝∠CAP，AB＝AC

∴△BQA≌△CPA（SAS）    

∴BQ＝CP                 

（2）BQ＝CP仍然成立，理由如下：   

∵∠QAP＝∠BAC

∴∠QAP＋∠PAB＝∠BAC＋∠PAB     

即∠QAB＝∠PAC

在△QAB和△PAC中

AP＝AQ，∠QAB＝∠PAC，AB＝AC

∴△QAB≌△PAC（SAS）    

∴BQ＝CP