Question

【題目】四邊形為正方形，點為線段上一點，連接，過點作，交射線于點，以、為鄰邊作矩形，連接.

（1）如圖，求證：矩形是正方形；

（2）當線段與正方形的某條邊的夾角是時，求的度數(shù).

Answer 1

【答案】∠EFC=125°或145°.

【解析】

（1）首先作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，由∠DCA=∠BCA，得出EQ=EP,再由∠QEF+∠FEC=45°，得出∠PED+∠FEC=45°，進而得出∠QEF=∠PED，即可判定Rt△EQF≌Rt△EPD，得出EF=ED，即可得證；

（2）分類討論：①當DE與AD的夾角為35°時，∠EFC=125°；②當DE與DC的夾角為35°時，∠EFC=145°，即可得解.

（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如圖所示

∵∠DCA=∠BCA

∴EQ=EP,

∵∠QEF+∠FEP=90°，∠PED+∠FEP=90°，

∴∠QEF=∠PED

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD

∴EF=ED

∴矩形DEFG是正方形；

（2）①當DE與AD的夾角為35°時，

∠DEP=∠QEF=35°，

∴∠EFQ=90°-35°=55°，

∠EFC=180°-55°=125°；

②當DE與DC的夾角為35°時，

∠DEP=∠QEF=55°，

∴∠EFQ=90°-55°=35°，

∠EFC=180°-35°=145°；

綜上所述，∠EFC=125°或145°.