Question

如圖，在直角坐標系xOy中，已知菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點B在y軸正半軸上，OA邊在直線y＝x上，AB邊在直線y＝－x＋上．

(1)根據題意，直接寫出菱形頂點，O、A、B、C的坐標，以及邊長和∠AOC的度數；

(2)在OB上有一動點P，以O為圓心，OP為半徑畫弧MN，分別交OA、OC于點M、N(M、N可以與A、C重合)，作⊙Q與AB、BC、弧MN都相切．設⊙Q的半徑為R，OP的長為y，求y與R之間的函數關系式；

(3)以O為圓心，OA為半徑作扇形OAC，請問在菱形OABC中，除去扇形OAC后的剩余部分內，是否可以作出一個圓，使所得的圓是以扇形OAC為側面的圓錐的底面，若存在，求出這個圓的面積；若不存在說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)O、A、B、C坐標依次為(0，0)，(，)，(0，)，(，)…(4分) 　　∠AOC＝60°……………………………………(5分) 　　∴AO＝……………………(6分) 　　(2)設⊙Q與AB相切于D連接QD，則QD＝QP＝R………………(7分) 　　又QD⊥AB，∠ABQ＝30° 　　∴BQ＝2R，∴OB＝OP＋PQ－BQ＝y＋R＋2R……………………(9分) 　　即　∴………………(10分) 　　(3)∵OA＝1，∠AOC＝60° 　　∴弧AC的長為……………………(10分) 　　而此時⊙Q的半徑 　　………………(11分) 　　設⊙M符合條件，其半徑為r，則⊙M周長＝弧AC的長＝ 　　∴，r＝……………………(13分) 　　∵，∴⊙M必在⊙Q內………………(14分) 　　故能作一個圓，使這個圓是扇形OAC為側面的圓錐的底面，它的面積為： 　　………………(16分)