Question

【題目】△ABC中，AB=AC，D是BC邊上任意一點，以點A為中心，取旋轉角等于∠BAC，把△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACM．

（1）如圖1，若∠BAC=50°，則∠BCM= ；

（2）如圖2，在BC上取點E，使∠DAE=∠BAC，求證：DE＜BD+EC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC=90°，BD=1，EC=2，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）∠BCM=130°；（2）證明見解析；（3）DE=．

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質可得∠B=∠C=65°，再由旋轉的性質得到∠ACM=∠B，即可得到結論．

（2）連接EM．由旋轉的性質得到AD=AM，∠BAD=∠MAC，進而有∠DAM=∠BAC．由SAS證明△ADE≌△AME，得到ME=DE．再由三角形三邊關系即可得到結論；

（3）連接EM．可得到三角形ECM為直角三角形，由勾股定理可求出EM的長，進而得到DE的長．

試題解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠BAC=50°，∴∠B=∠C=(180°-50°)÷2=65°．∵∠ACM=∠B，∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=65°+65°=130°．

（2）連接EM．∵△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACM，∴AD=AM，∠BAD=∠MAC，

∴∠BAD+∠DAC=∠MAC+∠DAC，即∠DAM=∠BAC．

∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE=∠DAM，∴∠DAE=∠MAE ．

∵AE=AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴ME=DE．

∵ME<MC+EC，MC=BD，∴DE<BD+EC．

（3）連接EM．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．

∵△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACM，∴CM=BD=1，∠ACM=∠B=45°， ∴∠ECM=90°．

∵EC=2， ∴ME=．由（2）知DE=ME，∴DE=．