Question

【題目】(2014山東淄博)如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分別是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB＝AC＝BD，連接MF，NF．

(1)判斷△BMN的形狀，并證明你的結論；

(2)判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)△BMN是等腰直角三角形．

證明：∵AB＝AC，點M是BC的中點，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∴．

∴△BMN是等腰直角三角形．

(2)△MFN∽△BDC．

證明：∵點F，M分別是AB，BC的中點，

∴FM∥AC，．

∵AC＝BD，

∴，即．

由(1)知△BMN是等腰直角三角形，

∴，即，

∴．

∵AM⊥BC，

∴∠NMF＋∠FMB＝90°．

∵FM∥AC．

∵∠ACB＝∠FMB．

∵∠CEB＝90°，

∴∠ACB＋∠CBD＝90°．

∴∠CBD＋∠FMB＝90°，

∴∠NMF＝∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．