Question

如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OE，再證∠FEO=90°即可；
（2）證明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例關系式，勾股定理得出AE，BF的關系式，求出AE的長．

解答：（1）證明：連接OE，
∵∠B的平分線BE交AC于D，
∴∠CBE=∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA．
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB．
∵∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°．
∴EF是⊙O切線．

（2）解：∵AF•FB=EF•EF，
∴AF×（AF+15）=10×10．
∴AF=5．
∴FB=20．
∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，
∴△FEA∽△FBE．
∴EF=10
∵AE²+BE²=15×15．
∴AE=3

5

．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．