Question

【題目】綜合與探究：如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合）．BC，BD別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．

（1）求∠ABN、∠CBD的度數；根據下列求解過程填空．

解：∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A＝180°

∵∠A＝60°，

∴∠ABN＝　 　，

∴∠ABP+∠PBN＝120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝　 　，（　 　）

∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝　 　．

（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律．

（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，直接寫出∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1）120°，2∠PBD，角平分線的定義，60°（2）∠APB＝2∠ADB．不隨點P運動變化，見解析；（3）30°

【解析】

（1）由AM∥BN，∠A=60°可得∠ABP+∠PBN=120°，再根據角平分線的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=120°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB＝2∠ADB；
（3）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，當∠ACB=∠ABD時有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根據∠ABN=120°，∠CBD=60°可得答案．

解：

（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠ABN＝120°

∴∠ABP+∠PBN＝120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分線的定義），

∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．

故答案為120°，2∠PBD，角平分線的定義，60°．

（2）∠APB與∠ADB之間數量關系是：∠APB＝2∠ADB．不隨點P運動變化．

理由是：∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（兩直線平行內錯角相等），

∵BD平分∠PBN（已知），

∴∠PBN＝2∠DBN（角平分線的定義），

∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代換），

即∠APB＝2∠ADB．

（3）結論：∠ABC＝30°．

理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，

當∠ACB＝∠ABD時，則有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN，

由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，

∴∠ABC+∠DBN＝60°，

∴∠ABC＝30°