Question

（2012•孝感模擬）已知關于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
（1）當k滿足什么條件時，此方程有實數根？
（2）若此方程的兩個實數根x₁、x₂滿足：2|x₁|=5-2|x₂|，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的根的判別式就可以得到關于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍；
（2）先利用根與系數的關系判斷出x₁、x₂同號，再根據2|x₁|=5-2|x₂|，可以得到關于k的方程，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）依題意△=[-（2k-3）]²-4×（k²+1）≥0
解得：k≤

5

12

；

（2）由根與系數的關系可知x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1，
∴x₁、x₂同號，
①當x₁＞0，x₂＞0時，由2|x₁|=5-2|x₂|得，
2（x₁+x₂）=5 即 2（2k-3）=5，
∴k=

11

4

∵k≤

5

12

∴k=

11

4

不合題意，（舍去），
②當x₁＜0，x₂＜0時，由2|x₁|=5-2|x₂|得
2（x₁+x₂）=-5 即 2（2k-3）=-5
∴k=

1

4

綜合①、②可知 k=

1

4

．

點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根；一元二次方程根與系數的關系：（1）x₁+x₂=-

b

a

，（2）x₁x₂=

c

a

．