Question

如圖，一次函數y=-4x-4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=

4

3

x²+bx+c的圖象經過A、C兩點，且與x軸交于點B．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的頂點為D，求四邊形ABDC的面積；
（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點M、N．問在x軸上是否存在點P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A和C點的坐標，并將其代入拋物線的解析式，即可求出；
（2）S_{四邊形ABDC}=S_△EDB-S_△ECA，通過求D、B和E點的坐標，根據三角形的面積公式，求出S_△EDB和S_△ECA．
（3）分三種情況進行討論：①∠PMN=90°，②∠PNM=90°，③∠MPN=90°．

解答：解：（1）∵一次函數y=-4x-4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，
∴A （-1，0）C （0，-4），
把A （-1，0）C （0，-4）代入y=

4

3

x²+bx+c得
∴

4 3 -b+c=0 c=-4

，解得

b=- 8 3 c=-4

，
∴y=

4

3

x²-

8

3

x-4；

（2）∵y=

4

3

x²-

8

3

x-4=

4

3

（ x-1）²-

16

3

，
∴頂點為D（1，-

16

3

），
設直線DC交x軸于點E，
由D（1，-

16

3

）C （0，-4），
易求直線CD的解析式為y=-

4

3

x-4，
易求E（-3，0），B（3，0），
S_△EDB=

1

2

×6×

16

3

=16，
S_△ECA=

1

2

×2×4=4，
S_{四邊形ABDC}=S_△EDB-S_△ECA=12；
（3）設M、N的縱坐標為a，
由B和C點的坐標可知BC所在直線的解析式為：y=

4

3

x-4，
則M（

-4-a

4

，a），N（

3a+12

4

，a），
①當∠PMN=90°，MN=a+4，PM=-a，因為是等腰直角三角形，則-a=a+4 則a=-2 則P的橫坐標為-

1

2

，
即P點坐標為（-

1

2

，0）；
②當∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=-2，則P的橫坐標為

3×(-2)+12

4

=

3

2

，
即P點坐標為（

3

2

，0）；
③當∠MPN=90°，作MN的中點Q，連接PQ，則PQ=-a，
又PM=PN，∴PQ⊥MN，則MN=2PQ，即：a+4=-2a，
解得：a=-

4

3

，
點P的橫坐標為：

-4-a+3a+12 4

2

=

a+4

4

=

2

3

，
即P點的坐標為（

2

3

，0）．

點評：本題考查了二次函數的綜合應用，難度較大，這就需要二次函數各部分知識的熟練掌握，以便靈活運用．