Question

【題目】如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，弧線兩兩交于M、N兩點，作直線MN，與邊AC、BC分別交于D、E兩點，連接BD、AE，若∠BAC=90°，在下列說法中：

①E為△ABC外接圓的圓心；

②圖中有4個等腰三角形；

③△ABE是等邊三角形；

④當∠C=30°時，BD垂直且平分AE．

其中正確的有（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用線段垂直平分線的性質，可以證明三角形外接圓,根據圓內的直角，特殊角，可以得到線段長度的關系.

解：由作法得MN垂直平分BC，則BE=CE，DB=DC，

∵∠BAC=90°，

∴BC為△ABC外接圓的直徑，E點為△ABC外接圓的圓心，所以①正確；

∵AE=BE=CE，DB=DC，

∴△ABE、△AEC和△DBC都為等腰三角形，所以②錯誤；

只有當∠ABC=60°時，△ABE是等邊三角形，所以③錯誤；

當∠C=30°時，∠ABC=60°，則△ABE是等邊三角形，而∠DBC=∠C=30°，所以BD為角平分線，所以BD⊥AE，所以④正確．

故選：B．