Question

從甲、乙兩題中選做一題．如果兩題都做，只以甲題計分．
題甲：若關于x一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有實數根a，β．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設t=

a+β

k

，求t的最小值．
題乙：如圖所示，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連接DP并延長，交AB的延長線于點Q．
（1）若

BP

PC

=

1

3

，求

AB

AQ

的值；
（2）若點P為BC邊上的任意一點，求證：

BC

BP

-

AB

BQ

=．
我選做的是

 

題．

Answer 1

分析：對甲：（1）由于一元二次方程存在兩實根，令△≥0求得k的取值范圍；
（2）將α+β換為k的表達式，根據k的取值范圍得出t的取值范圍，求得最小值．

解答：題甲
解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有實數根a，β，
∴△≥0，
即4（2-k）²-4（k²+12）≥0，
得k≤-2．
（2）由根與系數的關系得：a+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
∴t=

a+β

k

=

4-2k

k

=

4

k

-2，
∵k≤-2，
∴-2≤

4

k

-2＜0，
∴-4≤

4

k

-2＜-2，
即t的最小值為-4．

題乙：
（1）解：∵AB∥CD，∴

BP

PC

=

BQ

CD

=

1

3

，即CD=3BQ，
∴

AB

AQ

=

CD

CD+BQ

=

3BQ

3BQ+BQ

=

3

4

；
（2）證明：四邊形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴

DC

BQ

=

PC

BP

BC

BP

-

AB

BQ

=

BP+PC

BP

-

AB

BQ

=1+

PC

BP

-

DC

BQ

=1
∴

BC

BP

-

AB

BQ

=1．

點評：本題考查了一元二次方程根的判定，另要掌握兩根之和、兩根之積與系數的關系．