Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、（左右）兩點，交軸于點，且．

（1）如圖（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖（2）為第四象限拋物線上一點，連接，將線段沿著軸翻折，得到線段，連接，設點的橫坐標為，的面積為，求與的函數關系式；

（3）如圖（3）在（2）的條件下，是第一象限拋物線上的一點，軸交的延長線于，垂足是，過點作軸交軸于、交直線于點，連接，，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）當x=0時， y=c，則C(0,c)、B(c,0)、A(-c,0)，將點A、B的坐標代入二次函數表達式，即可求解；
（2）利用S△BCQ=·CD·(OB+OH)即可求解；

（3）證明MI=MP，CD=MQ，而由(2)知：CD=m，CD=PI，PI=2m，則IW=WP=m，由tan∠WMP=得tana=，而可得，由此可求解．

解：（1）當x=0時，y=c，

∴C(0,c)，

∴OC=c

∵OA=OB=OC

∴B(c,0)，A(-c,0)

代入解析式得：b=0，c=4或0(0不符合題意舍去)

∴拋物線的解析式為：

（2）∵點P在拋物線上，

則

∵P、Q關于y軸對稱，

作OH⊥x軸于H，tan∠ABO=tan∠OBD，

則OD=m-4，OC=4，CD=m，

S△BCQ=·CD·(OB+OH)= m+2m，

（3）過點P作PK⊥x軸于點K，與MF的延長線交于點I，連接PQ，

設∠BAP=a，則∠APK=90°-a，

∵∠PMF=2∠BAP=2a，∠I=90°-a，

∴MI=MP，

過M作MW⊥IP于點W，則MQPW是矩形

∵CD∥QM，CD=WP=QM

∴CD=QM

由（2）知：CD=m，

∵CD∥PI，

∴CD=PI，PI=2m

∴IW=WP=m

∴∠WMP=∠BAP=a

∴tan∠WMP=PW∶WM=，

∴tana=，

∵，

∴，

解得：或4（舍去4）

∴點P(6,-5)