Question

【題目】從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數．
（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，

∴∠ACD=∠A=40°，

∴△ACD為等腰三角形，

∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割線

（2）解：①當AD=CD時，如圖2，∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

②當AD=AC時，如圖3中，∠ACD=∠ADC= =66°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．

③當AC=CD時，如圖4中，∠ADC=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．

∴∠ACB=96°或114°．

（3）解：由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴ ，設BD=x，

∴（ ）2=x（x+2），

∵x＞0，

∴x= ﹣1，

∵△BCD∽△BAC，

∴ = = ，

∴CD= ×2= ﹣

【解析】（1）根據完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三種情形討論即可①如圖2，當AD=CD時，②如圖3中，當AD=AC時，③如圖4中，當AC=CD時，分別求出∠ACB即可．（3）設BD=x，利用△BCD∽△BAC，得 ，列出方程即可解決問題．