Question

【題目】海上有一小島，為了測量小島兩端A、B的距離，測量人員設計了一種測量方法，如圖所示，已知B點是CD的中點，E是BA延長線上的一點，測得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= ．
（1）求小島兩端A、B的距離；
（2）過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F，求sin∠BCF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，

∴cosD= ，

∴CE=40（海里），CD=50（海里）．

∵B點是CD的中點，

∴BE= CD=25（海里）

∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．

答：小島兩端A、B的距離為16.7海里．

（2）解：設BF=x海里．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，

∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．

在Rt△CFE中，∠CFE=90°，

∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600．

解得x=7．

∴sin∠BCF= ．

【解析】（1）在Rt△CED中，利用三角函數求出CE，CD的長，根據中點的定義求得BE的長，AB=BE﹣AE即可求解；（2）設BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2 ． 在Rt△CFE中，列出關于x的方程，求得x的值，從而求得sin∠BCF的值．