Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點，連接OD．已知BD=2，AD=3．
求：
（1）tanC；
（2）圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OE，

∵AB、AC分別切⊙O于D、E兩點，

∴AD⊥OD，AE⊥OE，

∴∠ADO=∠AEO=90°，

又∵∠A=90°，

∴四邊形ADOE是矩形，

∵OD=OE，

∴四邊形ADOE是正方形，

∴OD∥AC，OD=AD=3，

∴∠BOD=∠C，

∴在Rt△BOD中， ，

∴ ．

答：tanC=

（2）解：如圖，設⊙O與BC交于M、N兩點，

由（1）得：四邊形ADOE是正方形，

∴∠DOE=90°，

∴∠COE+∠BOD=90°，

∵在Rt△EOC中， = ，OE=3，

∴ ，

∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE= ，

∴S陰影=S△BOD+S△COE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）= ，

答：圖中兩部分陰影面積的和為 ．

【解析】（1）連接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根據∠A=90°，推出矩形ADOE，進一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；（2）設⊙O與BC交于M、N兩點，由（1）得：四邊形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根據 ，OE=3，求出 ，根據S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE ， 即可求出陰影部分的面積．