Question

如圖△ABC中，過點A分別作∠ABC、∠ACB的外角的平分線的垂線AD，AE，D，E為垂足．
求證：（1）ED∥BC；
（2）ED=

1

2

(AB+AC+BC)．

Answer 1

分析：（1）分別延長AD、AE與直線BC交于點F、G，根據AD⊥BD，得到∠ADB=∠FDB=90°，再根據BD=BD，∠ABD=∠FBD，證得△ABD≌△FBD，進而得到AD=FD、AE=EG，證得DE∥BC．
（2）根據上題證得的△ABD≌△FBD，AB=BF，同理AC=CG，證得GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，從而證得結論．

解答：證明：（1）分別延長AD、AE與直線BC交于點F、G，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵BD=BD，∠ABD=∠FBD，
∴△ABD≌△FBD
∴AD=FD，
同理可得AE=EG，
∴DE∥BC；

（2）由（1）知△ABD≌△FBD，
∴AB=BF，
同理AC=CG，
∵DE=

1

2

FG
∴GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，
∴DE=

1

2

(AB+BC+AC)．

點評：本題考查了三角形的中位線定理及三角形的有關知識，解題的關鍵是正確的利用中位線定理得到中位線與第三邊的位置或數量關系．