Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值；
（2）根據圖象寫出正比例函數的值大于反比例函數的值時，x的取值范圍．
（3）若雙曲線y=

k

x

(k＞0)上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）先把點A的橫坐標為4代入直線y=

1

2

x，得A點坐標為（4，2），然后把A點坐標為（4，2）代入雙曲線y=

k

x

(k＞0)即可得到k的值；
（2）先確定B點坐標，這樣直線被A、O、B三點分成四段，然后在四個區間討論正比例函數的值與反比例函數值的大小即可；
（3）過A、C分別作y軸的垂線，垂足分別為E、F，先確定C點坐標，然后根據S_△AOC=S_梯形ACEF+S_△AOF-S_△CEO，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式計算即可．

解答：解：（1）把點A的橫坐標為4代入直線y=

1

2

x，得y=2，即A點坐標為（4，2），
把A點坐標為（4，2）代入雙曲線y=

k

x

(k＞0)得，k=4×2=8，
即k的值為8；

（2）∵A、B兩點關于原點對稱，
∴B點坐標為（-4，-2），
觀察圖象得，當-4＜x＜0或x＞4時，正比例函數的值大于反比例函數的值．

（3）如圖，過A、C分別作y軸的垂線，垂足分別為E、F，
把C的縱坐標8代入y=

8

x

，得C點坐標為（1，8）
∴S_△AOC=S_梯形ACEF+S_△AOF-S_△CEO
=

1

2

（1+4）×（8-2）+

1

2

×4×2-

1

2

×8×1
=15，
即△AOC的面積為15．

點評：本題考查了點在函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式．也考查了觀察圖象的能力以及不規則幾何圖形面積的計算方法．