Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD2=CACB；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA= ，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DBC，

∴ = ，即CD2=CACB；

（2）解：證明：如圖，連接OD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠3=90°．

∵OA=OD，

∴∠2=∠3，

∴∠1+∠2=90°．

又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD．

又∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（3）解：解：如圖，連接OE．

∵EB、CD均為⊙O的切線，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA= ，

∴tan∠OEB= = ，

∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，

∴Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴ = = = ，

∴CD=8，

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，

解得x=5．

即BE的長為5．

【解析】（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應邊成比例來證得結論；（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明OD⊥CD即可；（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應邊成比例列出關于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和相似三角形的判定與性質，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．