Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，4）．

（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，當 MN的值最大時，求△BMN的周長．
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S1 ， △ABN的面積為S2 ， 且S1=4S2 ， 求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線BC的解析式為y=mx+n，

將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標代入，

得， ，

∴

所以直線BC的解析式為y=﹣x+4；

將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標代入y=x2+bx+c，

得， ，

∴

所以拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4

（2）

解：如圖1，

設M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），則N（x，﹣x+4），

∵MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當x=2時，MN有最大值4；

∵MN取得最大值時，x=2，

∴﹣x+4=﹣2+4=2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN=2 ，BM=2

∴△BMN的周長=4+2 +2 =4+4

（3）

解：令y=0，解方程x2﹣5x+4=0，得x=1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB=4﹣1=3，

∴△ABN的面積S2=×3×2=3，

∴平行四邊形CBPQ的面積S1=4S2=12．

如圖2，

設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．

∵BC=4 ，

∴BCBD=12，

∴BD= ．

過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，連接CQ，則四邊形CBPQ為平行四邊形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD為等腰直角三角形，由勾股定理可得BE= BD=3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

設直線PQ的解析式為y=﹣x+t，

將E（1，0），代入，得﹣1+t=0，解得t=1

∴直線PQ的解析式為y=﹣x+1．

解方程組， ，

得， 或 ，

∵點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，

∴點P的坐標為P（3，2）

【解析】（1）直接用待定系數法求出直線和拋物線解析式；（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐標即可求出周長；（3）先求出△ABN的面積，進而得出平行四邊形CBPQ的面積，從而求出BD，聯立方程組求解即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．