Question

通過計算，比較下列各組中兩個數的大小（在空格內填“＜”“＞”“=”）
（1）1²

 

2¹；（2）2³

 

3²；（3）3⁴

 

4³；（4）4⁵

 

5⁴；（5）5⁶

 

6⁵；…
（2）、從第1題的結果經過歸納，可猜想出nⁿ⁺¹和（ n+1）ⁿ的大小關系是．
（3）、根據上面的歸納猜想得到的一般結論，試比較下面兩數的大小．
2002²⁰⁰³

 

2003²⁰⁰²
27、如圖，將一張正方形紙片，剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一個小正方形再按同樣的方法剪成四個小正方形，再將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如此循環進行下去；

（1）填表：

（2）請你推斷，能不能按上述操作過程，將原來的正方形剪成99個小正方形？為什么？
（3）觀察圖形，你還能得出什么規律？

Answer 1

分析：（1）①通過計算，可以比較大小；
②由①的特例可以看出：當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（ n+1）ⁿ；當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（ n+1）ⁿ；
③由②的規律直接得出結論；
（2）①第一次是4個，以后每一次都少1多4（即多3個），照此填表即可；
②由表中的數據規律列方程解答即可；
③可以求剪后的每個小正方形的面積是與原來正方形面積的幾分之幾．

解答：解：（一）（1）依次填＜，＜，＞，＞，＞，…；
（2）由（1）可知當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（ n+1）ⁿ；當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（ n+1）ⁿ；
（3）因為2002+1=2003，2002＞3，
所以2002²⁰⁰³＞2003²⁰⁰²；
故填＞．
（二）（1）填表如下：

（2）不能按上述操作過程，將原來的正方形剪成99個小正方形；
因為：由（1）可知：3n+1=99，
解得n=

98

3

，不合題意．
（3）由圖可知剪n次后一個小正方形的面積是原正方形面積的

1

2n+2

．

點評：第一題是由特殊值推出一般規律，第二題是由圖形的變化推出一般規律，進一步利用所得規律解答問題．