Question

（2012•老河口市模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于A（0，4），交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側）．B、C兩點坐標分別為（3，0），（8，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，點Q是對稱軸l上的一動點，是否存在以P、Q、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求函數的解析式即可；
（2）已知∠ABD是直角，若連接圓心和切點（暫定為E），不難看出Rt△OAB、Rt△EBC相似（或全等），可據此求出⊙C的半徑，再將該半徑與點C到對稱軸l的距離進行比較即可；
（3）此題應分兩種情況討論：
①BC為平行四邊形的邊；那么將點Q向左或向右平移BC長，即可得到點P的橫坐標，再代入拋物線的解析式中求解即可；
②BC為平行四邊形的對角線；根據平行四邊形的中心對稱性，點P必在拋物線的對稱軸上，顯然只有拋物線的頂點符合點P的要求．

解答：解：（1）根據題意，可設拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，根據題意，得：

9a+3b+4=0 64a+8b+4=0

，
解得

a= 1 6 b=- 11 6

．
故拋物線的解析式為y=

1

6

x²-

11

6

x+4；

（2）設⊙C與BD相切于點E，連接CE，則∠BEC=∠AOB=90°．
∵A（0，4）、B（3，0）、C（8，0），
∴OA=4，OB=3，OC=8，BC=5；
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∴AB=BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，
∴∠EBC=∠OAB，
∴

∠OAB=∠EBC ∠AOB=∠BEC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC，
∴OB=EC=3．
設拋物線對稱軸交x軸于F．
∵x=-

b

2a

=-

- 11 6

2× 1 6

=

11

2

，
∴F（

11

2

，0），
∴CF=8-

11

2

=

5

2

＜3，
∴對稱軸l與⊙C相交；

（3）由（2）知：拋物線的對稱軸為x=

11

2

，設Q（

11

2

，y_Q），已知BC=5，則有：
①若BC為邊，則：P（

11

2

+5，y_P）或（

11

2

-5，y_P），代入拋物線的解析式中，可得：
P₁（

21

2

，

25

8

）、P₂（

1

2

，

25

8

）；
②若BC為對角線，則點P必在拋物線對稱軸上，即此時點P是拋物線的頂點（

11

2

，-

25

24

）．
綜上，存在符合條件的點P，坐標為（

1

2

，

25

8

）或（

21

2

，

25

8

）或（

11

2

，-

25

24

）．

點評：此題主要考查的是利用待定系數法確定函數解析式、全等三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系以及平行四邊形的特點等重要知識點；（4）的類型題中，根據平行四邊形的特點，將一點平移得出另一點，再代入拋物線的解析式中求解；或過兩點作坐標軸的垂線，通過構建全等三角形求解都是常用的方法．