Question

如圖：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC-AD=1．以CD為直徑的圓O與AB有兩個不同的公共點E、F，與BC交于點G．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：AE=BF；
（3）當AE=1時，在線段AB上是否存在點P，以點A，P，D為頂點的三角形與以點B，P，C為頂點的三角形相似？若存在，在圖中描出所有滿足條件的點P的位置（不要求計算）；若不存在，請說理由．
（4）當AE為何值時，能滿足（3）中條件的點P有且只有兩個？

Answer 1

解：（1）連接DG．
∵CD為直徑，
∴DG⊥BC，
在△DGC中，∵BC-AD=1，
∴GC=1，
又∵AB=7，
∴DC==5，
∴⊙O的半徑為；

（2）作OM⊥AB于M，根據垂徑定理得EM=FM，
又∵AD∥OM∥BC，OD=DC，
∴AM=BM，
∴AM-EM=BM-FM，
即AE=BF；


（3）有三個點．
設AD=x，則BC=x+1，根據勾股定理，
AD²+AE²=DE²，即 x²+1=DE²，
BE²+BC²=CE²，即6²+（x+1）²=CE²，
又CE²+DE²=CD²=50，
即 x²+1+[6²+（x+1）²]=50，
解得 x=2，
即AD=2，BC=3．
第一種情況：∠APD+∠BPC=90．
只有∠DPC=90度時，∠APD+∠BPC=90，△PAD∽△CBP．
根據圓的特性，CD為直徑，所以這樣的點都在圓弧上，即點E，F
設AF=y．則根據AD²+AF²+BF²+BC²=CD²，
∴4+y²+（7-y）²+9=50，
解得y₁=1，y₂=6
即 AP=1，或者AP=6；
第二種情況：∠APD=∠BPC時，三角形PAD相似于PBC．
假設存在這樣的點P，使得：∠APD=∠BPC時，△APD∽△BPC，則
AP：BP=AD：BC=2：3，
又∵AP+BP=AB=7，
所以AP=7×=．
綜合以上，可以看出，這樣的點有3個，AP的長度分別為 1，6，；

（4）當P₃與E（P₁）重合時，即∠AED=∠BEC=45°，此時△APD與△BPC都是等腰直角三角形，
由△APD∽△BPC，得AP=AD，BP=BC，
又AP+BP=7，BC-AD=1，
∴AP=3，即AE=3．
故當AE=3時，滿足（3）中條件的點P有且只有兩個，即點E、點F．
分析：（1）連接DG，根據直徑所對的圓周角是直角得出DG⊥BC，在△DGC中根據勾股定理求出DC的長即可；
（2）作OM⊥AB于M，根據垂徑定理求出EM=FM，根據梯形的中位線推出AM=BM即可；
（3）有三個點：①P與E重合時，∠CED=90°，根據同角的余角相等得出∠AED=∠ECB，又∠DAB=∠ABC，由兩角對應相等的兩三角形相似證明出△AED∽△BCE，即可求出AP；②P與點F重合時，與①類似能求出AP；③P在線段EF上，由△APD∽△BPC，根據相似三角形的性質得出比例式求出AP即可．
（4）當P₃與E（P₁）重合時，即∠AED=∠BEC=45°，只有兩解，根據相似三角形的性質得出比例式求出AE=3．
點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，綜合性較強，有一定難度．進行分類討論是解題的關鍵．