Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點P、Q分別是AB、AC上的一動點，且滿足BP=AQ，D是BC的中點．
（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形，并說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（1）連接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ為等腰直角三角形；
（2）解：當P點運動到AB的中點時，四邊形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
當P為AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四邊形APDQ為矩形，
又∵DP=AP=AB，
∴矩形APDQ為正方形（鄰邊相等的矩形為正方形）．

【解析】（1）連接AD，根據直角三角形的性質可得AD=BD=DC，從而證明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，則△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，從而證出△PDQ是等腰直角三角形；
（2）若四邊形APDQ是正方形，則DP⊥AP，得到P點是AB的中點．