Question

【題目】有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．
（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B與∠C的度數之和；

（2）如圖2，銳角△ABC內接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO．∠OBA的平分線交OA于點E，連結DE并延長交AC于點F，∠AFE＝2∠EAF．

求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G．當DH＝BG時，求△BGH與△ABC的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°.

∴∠B+∠C=120°.

即∠B與∠C的度數之和120°.

（2）

證明：在△BED和△BEO中，

.

∴△BED≌△BEO（SAS）.

∴∠BDE=∠BOE.

又∵∠BCF=∠BOE.

∴∠BCF=∠BDE.

如下圖，連結OC.

設∠EAF=.則∠AFE=2∠EAF=2.

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=.

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四邊形DBCF是半對角四邊形.

（3）

解：如下圖，作過點OM⊥BC于點M.

∵四邊形DBCF是半對角四邊形，

∴∠ABC+∠ACB=120°.

∴∠BAC=60°.

∴∠BOC=2∠BAC=120°.

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=30°.

∴BC=2BM=BO=BD.

∵DG⊥OB,

∴∠HGB=∠BAC=60°.

∵∠DBG=∠CBA,

∴△DBG△CBA.

∴ =2=.

∵DH=BG,BG=2HG.

∴DG=3HG.

∴=

∴=.

【解析】（1）在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A；根據四邊形的內角和為360°，得出∠B與∠C的度數之和.
（2）如圖連接OC，根據條件先證△BED≌△BEO，再根據全等三角形的性質得出∠BCF=∠BOE=∠BDE；設∠EAF=.則∠AFE=2∠EAF=2得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2；再根據OA=OC得出∠OAC=∠OCA= ， 根據三角形內角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2；從而得證.
（3）如下圖，作過點OM⊥BC于點M，由四邊形DBCF是半對角四邊形，得出∠ABC+∠ACB=120°，∠BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°；再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM=BO=BD；根據△DBG～△CBA得出答案.
【考點精析】掌握三角形的內角和外角和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．