Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和為4，并且兩條對角線所夾銳角為60°，則該等腰梯形的面積為______．（結果保留根號的形式）

Answer 1

已知梯形的上下底的和是4，設AB+CD=4，
對角線AC與BD交于點O，經過點C作對角線BD的平行線CE交AB的延長線于點E．
（1）當∠DOC=60度時，∠ACE=60°，△ACE是等邊三角形，邊長AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

；
因而面積是

1

2

×4×2

3

=4

3

；
（2）當∠BOC=60度時，∠AOB=180°-60°=120°，又BD∥CE，∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底邊AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，則AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
則△ACE的面積是

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

．
而△ACE的面積等于梯形ABCD的面積．
因而等腰梯形的面積為4

3

或

4

3

3

．