Question

如圖，是的內接三角形，，為? 中上一點，延長至點，使．

（1）求證：；

（2）若，求證：．

 

Answer 1

【答案】

證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據同弧上的圓周角相等，得∠CBA=∠CDE，則∠ACB=∠ECD，可證明△ACE≌△BCD，則AE=BD；

（2）根據已知條件得，∠CED=∠CDE=45°，則DE=CD，從而證出結論．

試題解析：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．

在△ECD中，∠E=∠CDE．

∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圓周角相等），

∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，

∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，

∴∠ACB=∠ECD，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，

∴△ACE≌△BCD．

∴AE=BD；

（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．

∴∠ECD=90°，

∴∠CED=∠CDE=45°，

∴DE=CD，

又∵AD+BD=AD+EA=ED，

∴AD+BD=CD．

考點：1.圓周角定理，2.全等三角形的判定與性質．