Question

【題目】已知：如圖，一次函數y=－2x與二次函數y＝ax2＋2ax＋c的圖像交于A、B兩點(點A在點B的右側)，與其對稱軸交于點C．

（1）求點C的坐標；

（2）設二次函數圖像的頂點為D，點C與點D 關于 x軸對稱，且△ACD的面積等于2.

① 求二次函數的解析式；

② 在該二次函數圖像的對稱軸上求一點P（寫出其坐標），使△PBC與△ACD相似.

Answer 1

【答案】（1）C點的坐標為（－1，2）；（2）①y＝2x2＋4x；②點P的坐標為（－1， 10），（－1， ）.

【解析】試題分析：

（1）把y＝ax2＋2ax＋c配方可得拋物線的對稱軸為直線x=1，由此結合已知條件即可求得點C的坐標為（-1，2）；

（2）①由（1）中的結論結合題意可得點D的坐標為（-1，-2），由此可得CD=4，結合△ACD的面積為2可得點A到CD的距離為1，結合點A是拋物線與直線y=-2x的交點可得點A與原點重合，即點A的坐標為（0，0），這樣設拋物線的解析式為y-a(x+1)2-2，再代入點A的坐標即可求得a的值，從而可得拋物線的解析式；

②如下圖，由已得拋物線的解析式結合題意可求得點B的坐標，再求結合點A、C、D的坐標即可得到AC、BC、CD的長，然后分△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD兩種情況列出比例式，解出對應的P1C和P2C即可得到對應的點P的坐標了.

試題解析：

（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，

∴它的對稱軸為x＝－1．

又∵一次函數y=－2x與對稱軸交于點C，

∴y＝2，

∴C點的坐標為（－1，2）．

（2）①∵點C與點D 關于x軸對稱，

∴點D的坐標為（－1，－2）．

∴CD=4，

∵△ACD的面積等于2．

∴點A到CD的距離為1，點A是拋物線與直線y=-2x的交點，

∴可得A點與原點重合，點A的坐標為（0，0），

設二次函數為y＝a(x+1)2－2，∵其圖象過點A（0，0），

∴a(0+1)2-2=0，解得a＝2,

∴二次函數的解析式為：y＝2x2＋4x；

② 由 解得： , ，

∴點B的坐標為（－3，6），

∵點A、B、C、D的坐標分別為（0，0），（-3，6），（-1，2），D（-1，-2），

∴易得△ACD是等腰三角形，CD=4，AC=，BC=，

如下圖，①當△P2BC∽△CAD時，

，即，解得P2C=8，

∴點P2到x軸的距離為10，即點P2的坐標為（-1，10）；

②當△P1BC∽△ACD時，

，即，解得P1C=2.5，

∴點P1到x軸的距離為4.5，即點P1的坐標為.

∴綜上所述可得：點P的坐標為（－1， 10），（－1， ）.