Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．
（1）求證：BD=CD；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD

（2）證明：四邊形AFBD是矩形．

理由：

∵AB=AC，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°

∵AF=BD，

∵過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，即AF∥BC，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

又∵∠ADB=90°，

∴四邊形AFBD是矩形

【解析】（1）先由AF∥BC，利用平行線的性質可證∠AFE=∠DCE，而E是AD中點，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可證△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，從而有BD=CD；（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．