Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，△OAB的邊OA在x軸的正半軸上，點B在第二象限，且∠AOB=135°，OA=2，OB=2，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B，并與y軸交于點C（0，5），點P在拋物線的對稱軸上．

（1）求b、c的值，及拋物線的對稱軸．

（2）求證：以點M（2，5）為圓心，半徑為2的圓與邊AB相切．

（3）若滿足條件∠AOB+∠POD=180°與OB：OD=OA：OP的點D恰好在拋物線上，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1，5，；（2）見解析；（3）點P的坐標為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）或（2，﹣8）或（2，4）．

【解析】

（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．解直角三角形求出點B的坐標，利用待定系數法即可解決問題．

（2）如圖2中，作MJ⊥AB于點J．求出直線AB，MJ的解析式，發現這兩條直線的交點J在y軸上，求出MJ與半徑比較即可解決問題．

（3）由題意∠POD=45°，OD：OP=OB：OA=，過點P作DP⊥OP，且PD=PD′=OP，連接OD，OD′，則點D和點D′滿足條件，設P（2，m），則D（2﹣m，m+2），D′（2+m，m﹣2），利用待定系數法構建方程求出m即可解決問題．

（1）解：如圖1中，作BH⊥x軸于H．

∵∠AOB=135°，

∴∠BOH=45°，

∵∠OHB=90°，OB=2，

∴BH=OH=2，

∴B（﹣2，2），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B，并與y軸交于點C（0，5），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+5，

∴拋物線的對稱軸x=﹣=2．

（2）證明：如圖2中，作MJ⊥AB于J．

∵A（2，0），B（﹣2，2），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，

∵M（2，5），MJ⊥AB，

∴直線MJ的解析式為y=2x+1，

∵直線AB交y軸于（0，1），直線MJ交y軸于（0，1），

∴J（0，1），

∴MJ==2，

∵⊙M的半徑為2，

∴MJ=r，

∴⊙M與直線AB相切．

（3）解：∵∠AOB+∠POD=180°，∠AOB=135°，

∴∠POD=45°

∵OB：OD=OA：OP，

∴OD：OP=OB：OA=，

過點P作DP⊥OP，且PD=PD′=OP，連接OD，OD′，則點D和點D′滿足條件，

設P（2，m），則D（2﹣m，m+2），D′（2+m，m﹣2），

當D（2﹣m，m+2）在y=﹣x2+x+5上時，m+2=﹣（2﹣m）2+2﹣m+5，

解得m=﹣2±2，

此時P（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2），

當D′（2+m．m﹣2）在y=﹣x2+x+5時，m﹣2=﹣（2+m）2+2+m+5，

解得m=﹣8或4．

此時P（2，﹣8）或（2，4），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）或（2，﹣8）或（2，4）．