Question

如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）這兩個三角形中，已知的條件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外兩組對應(yīng)角相等即可得出兩三角形相似，因為∠DEA+∠FEB=180-90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件；
（2）可用x表示出BE的長，然后根據(jù)（1）中三角形ADE和FEB相似可得出關(guān)于AD，AE，BE，BF的比例關(guān)系式，然后就能得出一個關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出y的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠FBE=90°．
∴∠ADE+∠DEA=90°．
又∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．

（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x，得：

y

x

=

4-x

4

，
得：y=

1

4

（-x²+4x）=

1

4

[-（x-2）²+4]=-

1

4

（x-2）²+1，
所以當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點．