Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按圖1擺放，（點C與E點重合），點B、C、E、F始終在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如圖2，△DEF從圖1出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向△ABC勻速運動，同時，點P從A出發(fā)，沿AB以每秒1個單位向點B勻速移動，AC與△DEF的直角邊相交于Q，當(dāng)P到達終點B時，△DEF同時停止運動，連接PQ，設(shè)移動的時間為t（s）．解答下列問題：

（1）△DEF在平移的過程中，當(dāng)點D在Rt△ABC的邊AC上時，求t的值；
（2）在移動過程中，是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）在移動過程中，當(dāng)0＜t≤5時，連接PE，是否存在△PQE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根據(jù)相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根據(jù)相似得出比例式，④當(dāng)5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似與勾股定理，即可求出答案；
（3）分為三種情況，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否滿足小于10即可．

解答：解：（1）當(dāng)D在AC上時，
∵DE=DF，
∴EC=CF=

1

2

EF=5，
∴t=5．

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，當(dāng)0≤t＜5時，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=

1

2

AQ=4-

1

2

t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

，
∴

t

4- 1 2 t

=

10

8

，
∴t=

40

13

；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=

1

2

AP=

1

2

t（等腰三角形的性質(zhì)三線合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴

AI

AQ

=

AC

AB

，
∴

1 2 t

8-t

=

8

10

，
∴t=

64

13

，
④當(dāng)5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=

4

5

（10-t）=8-

4

5

t，
BH=

3

5

（10-t）=6-

3

5

t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-

4

5

t）=2-

t

5

，
PG=HC=6-（6-

3

5

t）=

3

5

t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（

3

5

t） ²+（2-

t

5

） ²，
解得：t=

16

3

秒，
其它情況不符合要求，
綜合上述：當(dāng)t等于4秒、

40

13

秒、

64

13

秒、

16

3

秒時△APQ是等腰三角形．

（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA=

BC

AB

=

6

10

=

PW

AP

，cosA=

AC

AB

=

8

10

=

AW

AP

，
∴PW=

3

5

t，AW=

4

5

t，
∴QW=8-

4

5

t-t=8-

9

5

t，
∴PQ²=PM²+QW²=（

3

5

t）²+（8-

9

5

t）²=

18

5

t²-

144

5

t+64，
PE²=PH²+EH²=（t+8-

9

5

t）²+（t-

3

5

t）²=

4

5

t²-

64

5

t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ²+QE²=PE²，
∴t1=0（舍去） t₂=

10

3

；
②∠PEQ=90°，
PE²+EQ²=PQ²
t₁=0（舍去） t₂=20（舍去）
∴此時不存在；
③當(dāng)∠EPQ=90°時
PQ²+PE²=EQ²，
t₁=

40

3

（舍去） t₂=4，
綜合上述：當(dāng)t=

10

3

或t=4時，△PQE是直角三角形．

點評：本題綜合運用了等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，此題難度較大，綜合性強，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．