Question

某公司準備投資開發甲、乙兩種新產品，通過市場調研發現：如果單獨投資甲種產品，則所獲利潤y₁（萬元）與投資金額x（萬元）之間滿足正比例函數關系：y₁=

4

5

x；如果單獨投資乙種產品，則所獲利潤y₂（萬元）與投資金額x（萬元）之間滿足二次函數關系：y₂=ax²+bx，已知y₂與x的部分對應值如下表所示：

x	1	5
y2	3.8	15

（1）求a，b的值；
（2）如果公司準備投資10萬元同時開發甲、乙兩種新產品，設公司所獲得的總利潤為P（萬元），試寫出P與乙種產品的投資金額x之間的函數關系式，并求出獲得最大利潤的投資方案．

Answer 1

分析：（1）把x=1，y=3.8；x=5，y=15，分別代入y₂=ax²+bx，可求出a，b的值；
（2）設投資x萬元生產乙產品，則投資（10-x）萬元生產甲產品求出w與x的函數關系式，把w與x的函數關系式用配方法化簡可解．

解答：解：（1）把x=1，y=3.8；x=5，y=15，分別代入y₂=ax²+bx得，

3.8=a+b 15=25a+5b

，
解得：a=-0.2，b=4；

（2）設投資x萬元生產乙產品，則投資（10-x）萬元生產甲產品，則
P=

4

5

（10-x）-0.2x²+4x
=-0.2x²+3.2x+8
=-0.2（x-8）²+20.8，
∴投資8萬元生產乙產品，1萬元生產甲產品可獲得最大利潤20.8萬元．

點評：本題考查了二次函數的應用中求最值的問題．當a＞0時函數有最小值；當a＜0時函數有最大值．求最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次項系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比用公式法簡便．