Question

加試題
（1）已知a+a^-1=3，則

a2

a4-a2+1

=

1

6

．
（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分別在BC、AC、AB上，BD=CE，CD=BF，則∠EDF=

90°-

1

2

∠A

A、90°-

1

2

∠A     B、90°-∠A     C、180°-∠A     D、180°-2∠A
（3）安岳A地有檸檬100噸，B地有檸檬80噸，計劃送往甲、乙兩廠深加工，甲廠需要檸檬110噸，乙廠需要檸檬70噸，從A、B兩地到甲、乙兩廠的路程和運費如下表：

	路程（千米）		運費（元/噸．千米）
	A地	B地	A地	B地
甲廠	20	15	12	12
乙廠	25	20	10	8

①若A地運往甲廠檸檬x噸，請寫出將所有檸檬運往甲、乙兩廠的總運費y（元）與x噸的函數關系式；
②當A、B兩地運往甲、乙兩廠多少噸檸檬時，總運費最少？最少運費是多少？

Answer 1

分析：（1）先將條件變形為a+

1

a

=3，可以得到a²+

1

a2

=7，根據求倒數的方法可以求出結論；
（2）根據等腰三角形的性質可以得出∠B=∠C，再證明△BDE≌△CED，根據全等三角形的性質及等腰三角形的性質可以求出結論；
（3）①設A地運往甲廠檸檬x噸，則A地運往乙廠（100-x）噸，B地運往甲廠（110-x）噸，B地運往乙廠（x-30）噸，根據總運費等于各部分運費之和就可以求出解析式；
②根據①的解析式的性質和自變量的取值范圍可以求出y的最小值．

解答：解：（1）∵a+a^-1=3，
∴a²+

1

a2

=7．
∵

a2

a4-a2+1

的倒數為：a²+

1

a2

-1，
∴a²+

1

a2

-1=7-1=6，
∴原式的值為：

1

6

．
故答案為：

1

6

；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△△BDE和△CED中，

BD=CE ∠B=∠C BF=CD

，
∴△BDE≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE．
∵∠FDC=∠B+∠BFD，
∴∠FDC-∠EDC=∠B，
即∠FDE=∠B，
∵∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠B=90°-

1

2

∠A．
∠FDE=90°-

1

2

∠A．
故答案為：90°-

1

2

∠A．
（3）①設A地運往甲廠檸檬x噸，則A地運往乙廠（100-x）噸，B地運往甲廠（110-x）噸，B地運往乙廠（x-30）噸，由題意得：
y=20×12x+10×25（100-x）+12×15（110-x）+20×8（x-30），
y=-30x+40000，
②由題意，得

x≥0 100-x≥0 110-x≥0 x-30≥0

，
解得：30≤x≤100．
∵y=-30x+40000，
∴k=-30＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=100時，y_最小=28000．
∴設A地運往甲廠檸檬100噸，則A地運往乙廠0噸，B地運往甲廠10噸，B地運往乙廠70噸．其運費最少為28000元．

點評：本題考查了一次函數的運用，分式的化簡求值的運用，全等三角形的判定與性質的運用，等腰三角形的性質的運用．