Question

如圖，已知，正方形ABCD和一個圓心角為45°的扇形，圓心與A點重合，此扇形繞A點旋轉時，兩半徑分別交直線BC、CD于點P．K．
（1）當點P、K分別在邊BC．CD上時，如圖（1），求證：BP+DK=PK．
（2）當點P、K分別在直線BC．CD上時，如圖（2），線段BP、DK、PK之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論．
（3）在圖（3）中，作直線BD交直線AP、AK于M、Q兩點．若PK=5，CP=4，求PM的長．

Answer 1

（1）證明：延長CD到N，使DN=BP，連接AN，
∵正方形ABCD，
∴∠ABP=∠ADC=90°=∠BAD，AD=AB，
∴∠ADN=90°=∠ABP，
在△ABP和△ADN中
，
∴△ABP≌△ADN，
∴AN=AP，∠NAD=∠PAB，
∵∠BAD=90°，∠PAK=45°，
∴∠BAP+∠KAD=45°，
∴∠NAD+∠DAK=45°，
即∠NAK=∠KAP=45°，
在△NAK和△KAP中
，
∴△PAK≌△NAK，
∴NK=KP，
∴BP+DK=PK．

（2）解：BP=DK+PK，
理由是：在BC上截取BN=DK，連接AN，
與（1）類似△ADK≌△ABN，
∴AK=AN，∠KAD=∠BAN，
∵∠KAP=45°，
∴∠NAB+∠DAP=45°，
∴∠NAP=90°-45°=45°=∠KAP，
與（1）類似△KAP≌△NAP（SAS），
∴PK=PN，
∴BP=BN+NP=DK+PK，
即BP=DK+PK．

（3）解：在△CPK中，CP=4，PK=5，由勾股定理得：CK=3，
在DC上截取DN=BP，連接AN，
由（1）可知：AN=AP，
與（2）證法類似△NAK≌△PAK，
∴PK=NF，
∴DK=PB+PK，
即DC+3=4-BC+5，
∵正方形ABCD，DC=BC，
解得：AD=DC=BC=AB=3，
連接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠ACB=∠DBC=∠MBP=45°，
∵∠ABC=∠PCK=90°，
∴∠ABM=∠ACK=45°+90°=135°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=3，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP==，
在Rt△ADK中，由勾股定理得：AK==3，
∵∠PAK=∠BAC=45°，∠BAK=∠BAK，
∴∠PAB=∠KAC，
∵∠ABM=∠ACK，
∴△MAB∽△KAC，
∴=，
即=，
解得：PM=，
答：PM的長是．
分析：（1）延長CD到N，使DN=BP，連接AN，根據正方形的性質和全等三角形的判定SAS證△ABP≌△ADN，推出AN=AP，∠NAD=∠PAB，求出∠NAK=∠KAP=45°，根據SAS證△NAK和△KAP全等即可；
（2）在BC上截取BN=DK，連接AN，與（1）類似證△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP，推出BN=DK，NP=PK即可；
（3）在DC上截取DN=BP，連接AN，與（1）類似證△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN，推出BP=DN，NK=PK，得出DK=PB+PK，求出正方形的邊長，根據勾股定理求出AN、AK、AP，求出∠ABM=∠ACK=135°，∠PAB=∠CAK，證△MAB和△KAC相似，得出比例式，代入求出即可．
點評：本題考查了勾股定理，正方形的性質，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質等知識點的運用，本題主要考查了學生分析問題和解決問題的能力，題目綜合性比較強，但證明方法類似，注意：證三條線段之間的關系的解題思路．