Question

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題--將軍飲馬問題：
如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
做法如下：如圖1，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關于河岸的對稱點B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF，在線段EF上找一點P，使BP+AP最短．
作點B關于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P，故BP+AP的最小值為______．
（2）實踐運用
如圖3，已知⊙O的直徑MN=1，點A在圓上，且∠AMN的度數(shù)為30°，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上運動，求BP+AP的最小值．
（3）拓展遷移
如圖4，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
①求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M，使△ACM周長最小，請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值．（結果保留根號）

Answer 1

（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD=∠D=120°，
∴∠ABC=60°；
在△ADC中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°；
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°-30°=90°，即△BAC為直角三角形；
在Rt△BAC中，∠ABC=60°，∠BCA=90°-60°=30°，AB=2，所以AC=AB•tan60°=2

3

；
由于B、C關于直線EF對稱，根據(jù)閱讀資料可知BP+AP的最小值為線段AC的長，即2

3

．

（2）如圖（2），作點A關于直徑MN的對稱點C，連接BC，則BC與直徑MN的交點為符合條件的點P，BC的長為BP+AP的最小值；
連接OA，則∠AON=2∠AMN=60°；
∵點B是

AN

的中點，
∴∠BON=

1

2

∠AON=30°；
∵A、C關于直徑MN對稱，
∴

CN

=

AN

，則∠CON=∠AON=60°；
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又OC=OB=

1

2

MN=

1

2

，
在等腰Rt△BOC中，BC=

2

OB=

2

2

；
即：BP+AP的最小值為

2

2

．

（3）①依題意，有：

b -2a =1 a-b+c=0 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3；
②取點C關于拋物線對稱軸x=1的對稱點D，根據(jù)拋物線的對稱性，得：D（2，-3）；
連接AD，交拋物線的對稱軸于點M，如圖（3）-②；
設直線AD的解析式為y=kx+b，代入A（-1，0）、D（2，-3），得：

-k+b=0 2k+b=-3

，解得

k=-1 b=-1

∴直線AD：y=-x-1，M（1，-2）；
∴△ACM的周長最小值：l_min=AC+AD=

10

+3

2

．