Question

如圖，已知?ABCD，∠A=45°，AD=4，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點B，則圖中陰影部分的面積為（　�。�

• A、4

  2

• B、π+2
• C、4
• D、2

  2

Answer 1

分析：連接BD及OB，根據直徑所對的圓周角為直角得到角ABD為直角，又角A為45°，得到三角形ABD為等腰直角三角形，因為O為AB中點，根據三線合一得到BO垂直于AD，又根據BO為斜邊上的中線，等于斜邊AD的一半，即可求出BO，根據扇形OAB與扇形OBD的圓心角及半徑相等，得到兩扇形面積相等，又三角形AOB與三角形BOD全等得到兩三角形面積相等，用扇形減去三角形即可得到弓形AB與弓形BD的面積相等，則陰影部分面積可轉化為三角形BDC的面積，根據平行四邊形的對邊相等得到BC與AD相等都等于4，然后根據三角形的面積公式底乘以高除以2即可求出所求陰影部分的面積．

解答：解：連接BD，OB，
∵AD為圓O的直角，
∴∠ABD=90°又∠A=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，又O為AD的中點，
∴BO⊥AD，且BO=

1

2

AD=2，AB=BD，
∵扇形AOB與扇形OBD的圓心角都為90°，半徑都為2，
得到S_扇形AOB=S_扇形OBD，又S_△AOB=S_△DOB
∴S_弓形AB=S_弓形BD，
由ABCD為平行四邊形，得到AD=BC，
則S_陰影=S_△BCD=

1

2

BC•BO=

1

2

AD•OB=

1

2

×4×2=4．
故選C．

點評：此題考查學生會利用轉化的思想把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積，考查了數形結合的數學思想，同時要求學生掌握平行四邊形及等腰直角三角形的性質，是一道中檔題．