Question

若兩條平行線被第三條直線所截，則同位角的平分線互相______；內錯角的平分線互相______；同旁內角的平分線互相______．

Answer 1

（1）如圖1，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點O、M，OP、MN分別是∠BOE、∠DMO的平分線．
∵AB∥CD，
∴∠BOE=∠DMO（兩直線平行，同位角相等）．
∵OP、MN分別是∠BOE、∠DMO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠BOE，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（同位角相等，兩直線平行）；

（2）如圖2，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點O、M，OP、MN分別是∠AOM、∠DMO的平分線．
∵AB∥CD，
∴∠AOM=∠DMO（兩直線平行，內錯角相等）．
∵OP、MN分別是∠AOM、∠DMO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠AOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（內錯角相等，兩直線平行）；

（3）如圖3，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點O、M，OP、MN分別是∠BOM、∠DMO的平分線，并相交于點H．
∵AB∥CD，
∴∠BOM+∠DMO=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．
∵OP、MN分別是∠BOM、∠DMO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠BOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1+∠2=90°，
在△OMH中，
∠1+∠2+∠OHM=180°，
∴∠OHM=180°-90°=90°，
即OP⊥MN．