Question

已知：△AOC如圖A（-1，0）、C（0，3），把△AOC 以O點為旋轉中心順時針方向旋轉
90°，使C與B重合
（1）寫出B點的坐標，求經過A、B、C三點的拋物線的解析式并畫出圖象；
（2）求拋物線頂點D的坐標，求證：△BCD是直角三角形；
（3）我們知道△DBC是直角三角形，在拋物線上除D點外，是否還存在另外一個點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請用尺規作圖畫出這樣的點；若不存在，請說明理由；
（4）設拋物線的對稱軸與x軸交于點H，射線CH交以O為圓心OC為半徑的圓于G，求HG的長．

Answer 1

（1）解：∵點B是由點C順時針旋轉90°得到的，且C（0，3），
∴B（3，0）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則，解得
，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．
∴拋物線的圖象為：

（2）證明：∵y=-x²+2x+3．
∴y=-（x-1）²+4
∴D（1，4），
∴DC²=1+1=2，BC²=9+9=18，BD²=16+4=20
∴DC²+BC²=BD^2，
∴△BCD是直角三角形．

（3）解：如圖：作BC的中垂線交BC于點M，
在以點M 為圓心，MC為半徑畫弧，與拋物線相交于點P，
∴點P是所求作的點．

（4）解：∵D（1，4），
∴OH=1，
∴由勾股定理得：HC=，連接EG，
∴∠EGC=∠COH=90°，
∴△COH∽△CGE，
∴，
∴，
∴CG=，
∴HG=-=．

分析：（1）由旋轉可以得出OB=OC，從而可以得出B點的坐標，在設出拋物線的解析式運用待定系數法將A、B、C三點的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式，根據特殊點可以畫出大致圖象．
（2）根據點的坐標由勾股定理求出△BCD各邊的長，再由勾股定理的逆定理就可以判斷出△BCD是直角三角形．
（3）根據直角三角形的性質，斜邊上的中線等于斜邊的一半來作出圖形就可以．
（4）連接EG，由圓周角定理可以得出∠EGC=90°，得出△COH∽△CGE，根據相似三角形的性質求出CG，從而可以求出HG的值．
點評：本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數的解析式，直角三角形的性質，勾股定理的運用，圓周角定理的運用．