Question

本題為選做題，從甲、乙兩題中選做一題即可，如果兩題都做，只以甲題計分．
甲：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．
證明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O的切線．

乙：已知關于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）．
（1）證明：這個方程有兩個不相等的實根
（2）如果這個方程的兩根分別為x₁，x₂，且（x₁-5）（x₂-5）=5m，求m的值．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據等腰三角形性質推出BD=DC即可；
（2）連接OD，推出∠BAC=2∠OAD；根據OA=OD，推出∠OAD=∠ODA，根據三角形外角性質推出∠BOD=2∠BAD，得出∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，求出OD⊥DE即可．

解答：解：選甲，
證明：（1）連接AD，
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD．

（2）證明：連接OD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BOD=∠OAD+∠ODA，
∴∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．

點評：本題考查了等腰三角形性質，切線的判定，平行線的性質和判定，圓周角定理等知識點的運用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，題型比較好，具有一定的代表性．