Question

【題目】已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B的坐標為（1，0），

∴OB=1．

∵OC=3OB=3，點C在x軸下方，

∴C（0，﹣3）．

∵將B（1，0），C（0，﹣3）代入拋物線的解析式得： ，解得：a= ，C=﹣3，

∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3

（2）

解：如圖1所示：過點D作DE∥y，交AC于點E．

∵x=﹣ = =﹣ ，B（1，0），

∴A（﹣4，0）．

∴AB=5．

∴S△ABC= ABOC= ×5×3=7.5．

設AC的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得： ，解得：k=﹣ ，b=﹣3，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3．

設D（a， a2+ a﹣3），則E（a，﹣ a﹣3）．

∵DE=﹣ a﹣3﹣（ a2+ a﹣3）=﹣ （a+2）2+3，

∴當a=﹣2時，DE有最大值，最大值為3．

∴△ADC的最大面積= DEAO= ×3×4=6．

∴四邊形ABCD的面積的最大值為12

（3）

解：存在．

①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，﹣3），令 x2+ x﹣3=﹣3，

∴x1=0，x2=﹣3．

∴P1（﹣3，﹣3）．

②平移直線AC交x軸于點E2，E3，交x軸上方的拋物線于點P2，P3，當AC=P2E2時，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當AC=P3E3時，四邊形ACE3P3為平行四邊形．

∵C（0，﹣3），

∴P2，P3的縱坐標均為3．

令y=3得： x2+ x﹣3=3，解得；x1= ，x2= ．

∴P2（ ，3），P3（ ，3）．

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是：P1（﹣3，﹣3），P2（ ，3），P3（ ，3）

【解析】（1）根據OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標（0，﹣3），把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，求出a點坐標即可求出函數解析式；（2）過點D作DE∥y軸分別交線段AC于點E．設D（m，m2+2m﹣3），然后求出DE的表達式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD ， 轉化為二次函數求最值；（3）①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1 ， 過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1 ， 此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P2 ， P3 ， 由題意可知點P2、P3的縱坐標為3，從而可求得其橫坐標．