Question

如圖，已知拋物線L₁： y=x²-4的圖像與x有交于A、C兩點。

（1）若拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對稱，求l₂的解析式；

（2）若點B是拋物線l₁上的一動點（B不與A、C重合），以AC為對角線，A、B、C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為D，求證：點D在l₂上；

（3）探索：當(dāng)點B分別位于l₁在x軸上、下兩部分的圖像上時，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)l₂的解析式為y=a（x-h）²+k

    ∵l₂與x軸的交點A（-2，0），C（2，0），頂點坐標(biāo)是（0，-4），l₁與l₂關(guān)于x軸對稱，

∴l₂過A（-2，0），C（2，0），

頂點坐標(biāo)是（0，4）

    ∴y=ax²+4        ∴0=4a+4   得 a=-1

    ∴l₂的解析式為y=-x²+4

（2）設(shè)B（x₁，y₁）

    ∵點B在l₁上       ∴B（x₁，x₁²-4）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對稱

    ∴B、D關(guān)于O對稱

    ∴D（-x₁ ，-x₁²+4）

    將D（-x₁ ，-x₁²+4）的坐標(biāo)代入l₂：y=-x²+4

∴左邊=右邊    ∴點D在l₂上.

（3）設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S，則： S=2*S_△ABC =AC*|y₁|=4|y₁|

    A．當(dāng)點B在x軸上方時，y₁＞0

    ∴S=4y₁ ，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而增大，

      ∴S既無最大值也無最小值

    B．當(dāng)點B在x軸下方時，-4≤y₁＜0

      ∴S=-4y₁ ，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而減小，

      ∴當(dāng)y₁ =-4時，S由最大值16，但他沒有最小值

      此時B（0，-4）在y軸上，它的對稱點D也在y軸上

      ∴AC⊥BD

      ∴平行四邊形ABCD是菱形；此時S_最大=16