Question

（2012•景寧縣模擬）已知二次函數y=-x²+4x+5圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，點D是該函數圖象上一點，且點D的橫坐標為4，連BD，點P是AB上一動點（不與點A重合），過P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，以PQ為一邊在PQ的右側作正方形PQMN．設點P的坐標為（t，0）．
（1）求點B，C，D的坐標及射線AD的解析式；
（2）在AB上是否存在點P，使△OCM為等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的邊長；若不存在，請說明理由；
（3）設正方形PQMN與△ABD重疊部分面積為s，求s與t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數解析式，當x=0時，求出C點坐標；當y=0時，求出B點坐標及點A坐標；將D點橫坐標代入y=-x²+4x+5，即可求出點D縱坐標；根據點A、點D坐標，應用待定系數法即可求出射線AD解析式；
（2）假設存在點P，使△OCM為等腰三角形，根據勾股定理，若能求出P點坐標，則P存在，同時可求出正方形PQMN 的邊長；否則P不存在；
（3）由于重疊部分面積是不確定的，所以要根據其重疊程度，分情況討論，得到不同的表達式．

解答：解：（1）當x=0時，y=5，則C點坐標為（0，5），
當y=0時，-x²+4x+5=0，
解得（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1；x₂=5．
則A點坐標為（-1，0），B點坐標為（5，0）．
將x=4代入y=-x²+4x+5得，y=-16+16+5=5，
則D點坐標為（4，5）．
設AD的解析式為y=kx+b，
把A（-1，0），D（4，5）分別代入解析式y=kx+b得，

-k+b=0 4k+b=5

，
解得

k=1 b=1

，
函數解析式為y=x+1（x≥-1）．（2分）

（2）∵直線AD的解析式為：y=x+1，且P（t，0）．
∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）
當MC=MO時：t+1=

5

2

，
∴邊長為

5

2

．…（1分）
當OC=OM時：（2t+1）²+（t+1）²=5²
解得t1=-

3

5

-

2 31

5

（舍去），t1=-

3

5

+

2 31

5

∴邊長為t+1=

2

5

+

2 31

5

．…（2分）
當CO=CM時：（2t+1）²+（4-t）²=5²
解得t1=

2+2 11

5

，t2=

2-2 11

5

．
∴邊長為t+1=

7+2 11

5

．
或t+1=t2=

7-2 11

5

…（2分）

（3）當1＜t≤

19

11

時，正方形的邊長為（t+1），故其面積為：s=（t+1）²；…（1分）
當

19

11

≤t≤2時：s=-

111

10

t2+

219

5

t-

351

5

；…（1分）
當2≤t≤4時：s=-

11

10

t2+

19

5

t+

49

10

；…（1分）
當4≤t≤5時：s=

5

2

t2-25t+

125

2

．…（1分）

點評：本題考查了二次函數的圖象和性質、待定系數法求一次函數解析式、三角形及正方形的性質、存在性問題等內容，綜合性強，屬于難題．